定义
Sn=∫0π/2sinnxdx
结论
Sn=nn−1Sn−2S0=2πS1=1
另外注意
Sn=∫0π/2sinnxdx=∫0π/2cosnxdx
推导
主要使用分部积分。S0和S1的计算这里省略。
另外可以注意,改变Sn的定义为余弦的积分,结论依然成立。
Sn======⇒=∫0π/2sinnxdx−∫0π/2sinn−1xdcosx−[sinn−1xcosx∣∣0π/2−∫0π/2cosxdsinn−1x]∫0π/2cos2x(n−1)sinn−2xdx∫0π/2(1−sin2x)(n−1)sinn−2xdx(n−1)∫0π/2sinn−2xdx−(n−1)∫0π/2sinnxdx(n−1)Sn−2−(n−1)SnSn=nn−1Sn−2