广义积分及其敛散性

定义

广义积分的定义不在此重复。大致就是让上限或者下限趋于奇点或者无穷的极限。比如$f(x)$在$(a, b)$上可积，那么

$$\int_a^b f(x)dx = \lim_{p\to a, q\to b}\int_p^q f(x) dx$$

$g(x)$在$[a, +\infty)$上可积，那么

$$\int_a^{+\infty} g(x) dx = \lim_{p\to +\infty} \int_a^{p} g(x)dx$$

敛散性的判断

从定义出发

显然可以从极限的定义出发，判断广义积分定义式里面的那个极限是否存在。这里用趋于无穷的极限举例。（$f(x)$在$[a, +\infty)$上可积，那么）

一方面，可以直接求不定积分，得到原函数$F(x)$，然后用Newton-Leibniz公式，那么就是研究这个极限是否存在

$$\lim_{x \to +\infty} F(x)$$

另一方面，可以用判断极限存在的方法。比如Cauchy极限存在准则。极限存在，意味对任意的$\epsilon$，取充分大的$p$、$q$总有下式成立：

$$\left|\int_p^q f(x) dx\right| \lt \epsilon$$

比较法

有两个结论需要记住

积分	收敛条件	发散条件
$\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}$	$p > 1$	$p \le 1$
$\int_0^{1}\frac{dx}{x^p}$	$0 < p < 1$	$p \ge 1$

类比调和级数，记住$f(x) = 1/x$的情况，然后其他的可以比出来。

进一步有下面的定理：

区间	条件1	条件2
$(a, b]$	$0 < \alpha < 1$	$(x-\alpha)^{\alpha}|f(x)|$有界
$[a, +\infty)$	$\alpha > 1$	$x^{\alpha}|f(x)|$有界

两条的结论都是广义积分$\int_?^? f(x)dx$绝对收敛。

这个结论是从高木的《定本解析概论》里抄出来的，不过我感觉这个结论不是那么好用，也不好记。

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从辅导书里面抄个例子出来，讨论一下反常积分的敛散性：

$$\int_1^{+\infty} \frac{(\arctan \frac{1}{x} )^\alpha}{ \left[ \ln (1 + 1/x) \right]^{2\beta}}dx$$

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设

$$f(x)=\frac{(\arctan \frac{1}{x} )^\alpha}{ \left[ \ln (1 + 1/x) \right]^{2\beta}}$$

则有

$$\lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x^{\alpha-2\beta}} = 1$$

意味着对于足够大的$N$，$x > N$时，有

$$(1 - \epsilon)x^{\alpha-2\beta} < f(x) < (1 + \epsilon)x^{\alpha-2\beta}$$

就有

$$\int_N^{+\infty}(1 - \epsilon)x^{\alpha-2\beta} < \int_N^{+\infty}f(x) < \int_N^{+\infty}(1 + \epsilon)x^{\alpha-2\beta}$$

可以注意到两侧的敛散性始终是一致的，而且结论在上面的表格中可查。两侧收敛，根据夹逼准则，中间也收敛，两侧都趋于无穷大，中间也趋于无穷大。

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$\Gamma$函数

经常忘记，这里顺便记录一下

$$\Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1}e^{-t} dt$$

$$\Gamma(x+1) = x! (x \in \mathbb N)$$

$$\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$$

怎么记准确呢？对于整数相当于阶乘换种写法，对于二分之一，则相当于高斯函数变个形。