高数（下）笔记

很久以前的笔记，现在为了复习更新上来（2022-05-03）

空间解析几何

平面、直线的方程

1. 已知在平面里的三点，要求平面方程

   1. 设一般方程，暴力解方程组
   2. $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{BC}$，得到法向量

2. 已知直线的一般方程，求参数方程

   1. 两个平面的法向量叉乘就是其方向向量。得到方向向量与其上一点，就可以列出对称式方程，从而得到参数方程。
   2. 暴力。对方程组进行变形，写出对称式方程，然后写出参数式方程。

3. 点到平面的距离 $$d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

4. 两直线的夹角

   方向向量的夹角余弦值 $$\cos{\alpha}=\frac{|m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2|}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\cdot\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}$$

5. 直线与平面的夹角

   等于方向向量与法向量的夹角

   直线与平面的关系，其实就是考察法向量和方向向量的关系。

曲面方程

旋转曲面

有以曲线$F(x, y)=0$，绕$x$轴旋转，得到 $$F(x, \sqrt{y^2+z^2})$$

绕哪个轴旋转，哪个轴就不变

1. 旋转椭球面
2. 圆锥面

柱面

简单

二次曲面

1. 椭球面 $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$

2. 椭圆抛物面 $$\frac{x^2}{2p}+\frac{y^2}{2q}=z$$

3. 马鞍面（双曲抛物面） $$-\frac{x^2}{2p}+\frac{y^2}{2q}=z$$

4. 单叶双曲面 $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$$

5. 双叶双曲面 $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$$

6. 二次锥面 $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$$

空间曲线的方程

1. 一般方程：两个曲面相交得到
2. 参数方程

多元函数微分学

类比

点

1. 内点：存在$\delta > 0$、$P_0\in \mathbb{R^2}$使$U(P_0, \delta)\subset\mathbb{R^2}$，则$P_0$是内点
2. 边界点和外点：类比上面的定义。

点集

1. 开集：没有边界点，全是内点
2. 闭集：开集的余集（$R^2-D$）成为闭集
3. 区域：联通的点集

二元函数的极限

$P\to P_0$有无穷条路径

经典例子： $$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}$$

$$\lim_{x\to 0, y\to 0}\frac{xy^2}{x^2+y^2}$$

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^y}{x^4+y^2}$$

累次极限存在，不代表二重极限一定存在；二重极限存在，也不代表累次极限存在。但是如果它们都存在，则必然相等。

二元函数求极限的方法：

1. 等价无穷小替换
2. 换元
3. 夹逼

闭区域上连续函数的性质

有界性、最值定理、介值定理

偏导数

只留一个变量动，把其他变量都固定，对动的变量求导，得到偏导数。

这个符号$\partial$可以读作partial

偏导数记号，一般应视作整体，$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}$和$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}$的分母实际上是不同的，但是记号却是一样的。

可偏导未必连续，连续未必可偏导。

高阶/混合偏导数

Clairaut定理：两个二阶混合偏导数的求导顺序不同，不一定相等。但是如果两个二阶混合偏导数都在区域$D$内连续，二者则相等。

我好像也没那么蠢

Laplace算子$\Delta r = \frac{\partial^2 r}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 r}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 r}{\partial z^2}$

全微分

$z=f(x,y)$，全微分$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$

在区域$D$中每一点都存在全微分，则$f$是$D$内的可微函数

可微必连续、必可偏导。

可微的必要条件和充分条件

1. 必要条件

   1. $f(x,y)$在这点续
   2. 偏导数在这点存在

2. 充分条件

   偏导数在这点的某邻域内存在，且在这点连续。

利用全微分进行近似计算，比如计算$1.04^{1.98}$

设$z = x^y$， $(x_0,y_0)=(1, 2)$

$$f(x,y)-f(x_0,y_0)\approx f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y$$

一阶微分的不变性为凑微分提供依据。

和一阶微分一样，一阶全微分也具有不变性：

$f = f(u, v)$，$u=u(x,y)$，$v=v(x,y)$，那么 $$df = \frac{\partial f}{\partial u}du+\frac{\partial f}{\partial v}dv = \frac{\partial f}{\partial u}{(\frac{\partial u}{\partial x}x+\frac{\partial u}{\partial y}y)}+\frac{\partial f}{\partial v}{(\frac{\partial v}{\partial x}x+\frac{\partial v}{\partial y}y)}$$

多元函数链法则

证明思路：

利用全微分知识：$\Delta_x z=f_u\Delta_x u+f_v\Delta_x v+o(\rho)$，两边除以$\Delta x$，求极限，就得到链法则。

隐函数的偏导数

两边求偏导，嗯，就这样。

隐函数组的偏导数

其实就是tm就是解方程组。

考虑方程组

$$\left\{\begin{aligned}& P(x,y,u,v)\\&Q(x,y,u,v)\end{aligned}\right.$$

把四个变量中的两个作为自变量，就确定出两个两元函数，作为一个两元隐函数。

然后教材上列出Jacobi式，莫名奇妙出现一堆行列式。其实tm就是解方程组，Cramer法则用用罢了。看着怪吓人的。

过后我重新审视了一下Jacobi的方法，感觉也没有那么复杂难记，其实只要用心看看下面这组公式就明白了。

隐函数组

$$\begin{cases} F(u, v, x, y) = 0 \\\ G(u, v, x, y) = 0 \end{cases}$$

$$J = \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, v)} = \begin{vmatrix}F_x & F_v \\\\ G_x & G_y\end{vmatrix}$$

$$\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{1}{J}\frac{\partial(F, G)}{\partial(x, v)}$$

$$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{1}{J}\frac{\partial(F, G)}{\partial(y, v)}$$

$$\frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{1}{J}\frac{\partial(F, G)}{\partial(u, x)}$$

$$\frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{1}{J}\frac{\partial(F, G)}{\partial(u, y)}$$

隐函数存在定理

$J$在某点处不等于0，则在这点可以确定唯一的单值函数。

方向导数和梯度

实际上还是把多元问题变成一元问题。设有一个向量$\boldsymbol{l}$，有一个函数$z=f(x,y)$，那么这个函数$P_0(x_0,y_0)$处$\boldsymbol{l}$方向的导数记为：

$$\left.\frac{\partial z}{\partial\boldsymbol{l}}\right|_{P_0} = \lim_{\rho\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x, y_0 + \Delta y)}{\rho} \ \left(\rho = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\right)$$

如果在这点可微，则：

$$\left.\frac{\partial z}{\partial\boldsymbol{l}}\right|_{P_0} = f_x(x_0,y_0)\cos\alpha + f_y(x_0,y_0)\cos \beta$$

就是梯度点乘了$\vec l$的方向余弦。

证明利用了$\Delta x/\rho = \cos\alpha$，$\Delta y/\rho = \cos\beta$

从上面的式子可以看出，如果$\vec l = \{f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0)\}$，刚好让方向导数最大！

这个方向就是梯度。

梯度记为$\nabla x$或者$\mathrm{grad}z$，$\nabla$是nabla算子

求曲线/曲面的切、法

曲线的切线和法平面

用参数方程，或者也可以用全导数 （Jacobi式令人死亡）#tuxie

切线的方向向量就是法平面的法向量。

曲面的法向量和切平面

总是忘记法向量的计算方法，所以这次回来重新审视和理解一下法向量是怎么算的。感觉很巧妙

设曲面方程为$F(x,y,z)=0$

那么求法向量的核心就是全导数公式。

$$\frac{dF}{dt} = \frac{\partial F}{\partial x}\frac{d x}{d t} + \frac{\partial F}{\partial y}\frac{d y}{d t} + \frac{\partial F}{\partial z}\frac{d y}{d z} = 0$$

其中

$$\left\{ \begin{aligned} & x = x(t) \\ & y = y(t) \\ & z = z(t) \end{aligned} \right.$$

是经过某点$P_0$的曲面上的曲线

上式恰好可以看成曲线在$P_0$切向量于另一个向量的点成，而由于曲线是一般的，所以“另一个向量”就是要找的法向量。

$\vec v = \left\{ \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z} \right\}$

二元函数Taylor公式

本质上是参数方程+链法则。

考虑$z=f(x,y)$，我们主要考虑$x$和$y$在这里变一点点，$z$怎么变，最大限度地模拟它的变化。比如给$x$一个变化$a$，给$y$一个变化$b$，想知道$f(x+a,y+b)$是多少。

很自然地，考虑这个$(a,b)$这个方向的方向导数。设$\phi(t) = f(x_0 + at, y_0+bt)$

根据一元函数的Maclauring公式

$$\phi(t) = \sum_{k=0}^{n} \frac{\phi^{(n)}(0)}{k!}t^k + R_n(t)$$

可以知道

$$f(x+a, y+b) = \phi(1) = \sum_{k=0}^{n}\frac{\phi^{(n)}(1)}{k!} + R_n$$

$\phi^{(n)}(t)$实际上就是在$f(x,y)$在$(a, b)$个方向上的$n$阶导数，可以证明： $$\phi^{(n)}(t) = \left(a\frac{\partial}{\partial x} + b\frac{\partial}{\partial y}\right)^nf(x_0+at, y_0+bt)$$

证明可以使用数学归纳法

嘿，那么直接代入就可以得到： $$f(x+a,y+b) = \sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\left(a\frac{\partial}{\partial x} + b\frac{\partial}{\partial y}\right)^kf(x_0, y_0) + R_n$$ 这就是多元函数的Taylor公式！

其中Lagrange余项$R_n$如下（$t=1$，所以没有$t^{n+1}$这个因式）： $$R_n = \frac{\phi^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} = \frac{1}{(n+1)!}\left(a\frac{\partial}{\partial x} + b\frac{\partial}{\partial y}\right)^{n+1}\cdot f(x_0+a\xi, y_0+b\xi) \ (0\le\xi\le1)$$ 也可以写成Peano余项$o(\rho^n)$，$\rho = \sqrt{a^2 + b^2}$

求极值

思想很简单，就是找出驻点，再判断是不是比周围都高/低。

极值存在的充分条件需要注意，似乎就是考虑各个方向的二阶方向导数，只不过为了方便证明借助了Taylor公式

在$(x_0,y_0)$的邻域有连续的二阶偏导数，记Heissian矩阵为

$$H_f = \begin{vmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{vmatrix}$$

1. 若$H_f$正定，即其行列式大于0且$f_{xx} > 0$，这点是极小值点
2. 若$H_f$负定，即其行列式大于0且$f_{xx}<0$，这点是极大值点
3. 如果$|H_f| < 0$，不是极值点
4. 如果$|H_f| = 0$，另作讨论，再说

条件极值

碰到不能转化为非条件极值的极值问题，可以使用Lagrange乘数法。证明不想看。方法如下：

设$\phi(x,y)$和$\psi(x,y)$是约束条件，要求极值的函数是$z = f(x,y)$

1. 构造Lagrange函数$L(x,y,z,\lambda,\mu) = f(x,z,y) + \lambda \phi(x,y)+\mu\psi(x,y)$
2. Lagrange函数分别对每个变量求偏导数，令每个偏导数都等于0，就能得到一个方程组
3. 解出来就完了:fu:（还要验证）​

居然在经济学的书上面看到了Lagrange乘数法，看来还是在最优化问题中还是挺有用的。

多元函数积分学

二重积分

记号、定义、线性、可加性、估值公式此不再赘述，具体看书，类比一元的情况。

二重积分也有中值定理：

函数$f(x,y)$在闭区域$D$上连续，则存在一点$(\xi, \eta)\in D$，使 $$\iint_D f(x,y)d\sigma = f(\xi, \eta)\sigma$$ 即 $$\frac{1}{\sigma}\iint_D f(x,y)d\sigma = f(\xi, \eta)$$

二重积分的计算

直角坐标

基本思想就是化成累次积分。

二重积分的几何意义是以某个区域为底的曲顶柱体的体积，如果把这个柱体切成很多薄片，每个薄片的面积就是一个曲边梯形，把这些梯形面积积分起来，就得到了二重积分的值。

下面就是最基本的形式：

$$\iint_Df(x,y)dxdy = \int_a^bdx\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}f(x,y)dy$$

必要的时候可以把区域划分为多个小区域，分别积分后加在一起。有时候也可以用几何意义，虽然道理讲不清楚。

几个作业题：（懒得打，以后再加进来）

换元

都是因为这题作业题我才会纠结换元的问题：

计算$\iint_{D} x^{2} y^{2} \mathrm{d} x \mathrm{d} y$，其中$D$是由曲线$x y=1$、$x y=2$和直线$y=x$、$y=4x$所围成的第一象限的区域。

换元实际上就是面积的变换，利用我最讨厌的Jacobi行列式就可以做到。 $$\iint_Df(x,y)dxdy = \iint_{D'}g(u,v)\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial{(u,v)}}\right|dudv$$ 具体证明并不复杂，就是考虑每个面积元在变换实施后的改变。

利用换元法，就可以直接获得极坐标下二重积分的计算方法。（大概就是旋转体体积柱壳法的来源）

极坐标

设$x = \rho\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta$

$$\iint_Df(x,y)dxdy = \iint_Df(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta)\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial{(\rho,\theta)}}\right|d\rho d\theta$$

其中

$$\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial{(\rho,\theta)}}\right| = \begin{vmatrix} \cos\theta & -\rho\sin\theta \\ \sin\theta & \rho\cos\theta \end{vmatrix} = \rho$$

故：

$$\iint_Df(x,y)dxdy = \iint_D\rho f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta) \cdot d\rho d\theta$$

这就是大物里面求圆盘转动摩擦力矩的积分方法。

三重积分

基本思想也是替换成累次积分

先一后二法（投影法）

本质就是把一块体积看作是无数细长柱体拼起来的，先在线段上积分（一元积分），然后把投影面积上的线再积起来（二元积分）。

先二后一法（截面法）

这个比较好理解，就是把一个区域切成很多薄片，每个薄片分别进行二重积分，最后再积起来。

换元法

跟二元一样。一般是换成柱坐标或者球坐标。

换成柱坐标好说，但是换成球坐标还是需要注意。

设

$$\left\{ \begin{aligned} & x = \rho\sin\phi\cos\theta \\ & y = \rho\sin\phi\sin\theta \\ & z = \rho\cos\phi \end{aligned} \right.$$

$\theta$是向量与x轴夹角，$\phi$是向量与z轴夹角。画个图好理解。书上是理解为三个曲面交出一个点（球面，圆锥面，平面）。总之很独特，感觉比二维的情况复杂多了。

Jacobi行列式不好算，总之，最终得到结果$dv = \rho^2\sin\phi \ d\rho d\phi d\theta$

重积分的几个典型应用

一切按定义推。如果写成矢量形式会更简洁。

求重心

假设有一个平面薄片，密度分布函数为$\rho(x, y)$，$\vec s = x\vec i + y\vec j$是薄片上某一质点的位矢。

则总质量就是

$$M = \iint_D \rho(x,y) d\sigma$$

重心的位矢就是

$$\vec s_0 = \frac{1}{M}\int_D\vec{r}\rho(x, y) \ d\sigma$$

三维物体如法炮制即可。

求转动惯量

物体的空间区域为$\Omega$，有连续的密度分布函数$\rho(x,y,z)$

对$z$轴的转动惯量就是

$$I_z = \iiint_\Omega (x^2+y^2)\rho(x,y,z) \ dV$$

对原点的转动惯量就是

$$I_O = \iiint_{\Omega} (x^2+y^2+z^2)\rho(x,y,z)\ dV$$

求引力

物体空间区域为$\Omega$，给定一个质点的位矢$\vec{s}$，有密度$\rho(\vec s)$，求这个物体对区域外一点$\vec s_0$的万有引力。 $$\vec F = G\iiint_\Omega\frac{\rho(\vec s)}{|\vec s - \vec{s}_0|}(\vec s - \vec s_0) \ dV$$

曲线曲面积分

第一类曲线积分（对弧长）

$$\int_Lf(x,y) ds$$

如果是闭合曲线，则记为 $$\oint_Lf(x,y)d s$$ 各种性质不再赘述。关键是怎么求。

基本思路就是化为参数方程

$$\begin{cases} x = \phi(t)\\ y = \psi(t) \end{cases}$$

则 $$ds = \sqrt{x'^2_t + y'^2_t}dt$$

$$\int_Lf(x,y)ds = \int_{t_1}^{t_2}f[\phi(t), \psi(t)]\sqrt{\phi'^2(t)+\psi'^2(t)}dt$$

虽然看起来很丑，但是实际做起来并不难，只是繁琐罢了。这种做法有很多条件，具体看书，不是重点。更高维的如法炮制。

如果是极坐标，需要注意 $$ds = \sqrt{r^2+r'^2}d\theta$$

第二类曲线积分（对坐标）

$$\int_L\vec{F}\cdot d\vec{s}$$

三个轴分别积分就是了。不难，反而更简单。

{–不是三个轴分别积分那么简单的，这样分别积分是有条件的。（路径是折线）–} 把问题复杂化了。

用参数方程来理解。

$$\left\{ \begin{aligned} & x = x(t) \\ & y = y(t) \end{aligned} \right.$$

然后代进积分中

$$\int_{L}P(x,y)dx + Q(x, y)dy = \int_LP(x(t), y(t))x'(t)dt + \cdots$$

{++稍微化一下就能发现++}

$$\int_{L}P(x,y)dx + Q(x, y)dy = \int_LP(x(t), y(t))x'(t)dt + Q(x(t), y(t))y'(t)dt = \int_LP(x(t), y(t))x'(t)dt + \int_L Q(x(t), y(t))y'(t)dt = \int_LPdx + \int_LQdy$$

两类曲线积分是可以互相转换的

$$\int_L\vec F\cdot d\vec s = \int_L \frac{\vec F\cdot \nabla\vec s}{|\nabla\vec s|}ds$$ #### Green公式

类比Newton-Leibniz公式？

先对区域分类。

单连通区域和复连通区域

如果$D$内任何一条闭合曲线所围的区域都属于$D$，那么就是单连通的。简单说就是没有洞。否则就是复连通（有洞）。

考虑一个单连通的闭区域$D$，函数$P(x,y)$和$Q(x,y)$在区域内都有连续的一阶偏导数，$L$是区域$D$的边界，那么

$$\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy = \oint_L Pdx + Qdy$$

果不其然，证明用了Newton-Leibniz公式。

需要考虑$x$型还是$y$型。书上证明假定既是$x$型，也是$y$型，比较普遍。

必须强调 ==$L$是有正方向的，也就是$D$始终在观察者的左侧==

如果$D$是复连通区域，那么需要考虑全部边界的曲线积分，然后加起来。

Green公式还可以写成向量形式

$$\oint_C \vec F \cdot\vec n^0ds = \iint_D\nabla \vec F d\sigma$$

利用Green公式，可以得到一个面积公式

$$A = \frac{1}{2}\oint_Lxdy-ydx$$

计算

$$\oint_C \frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}$$

$C$是包围原点的任意闭合曲线

注意，Green公式不能用，因为在原点没有定义，也就没有偏导数

Gauss公式

Green公式的三维推广

Stokes公式

曲面积分与曲面边界的曲线积分的关系。

$$\iint_\Sigma\left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}\right)dydz + \left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)dzdx + \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy = \oint_\Gamma Pdx + Qdy + Rdz$$

行列式助记

$$\iint_\Sigma \begin{vmatrix} dydz & dzdx & dxdy \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} = \oint_L Pdx + Qdy + Rdz$$

向量形式

$$\iint_\Sigma \mathrm{rot} \vec A\cdot\vec ndS = \oint_L \vec A\cdot \vec t ds$$

散度和旋度

本节内容参考《矢量分析和场论》

散度

公式支持垃圾，不写了。 $$\iint_\Omega \left(P dydz + Qdzdz+Rdxdy\right)dv$$

$$\mathrm{div}\boldsymbol{v} = \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$$

实际上是用了Gauss公式： $$\iint_\Sigma \vec v \cdot \vec ndS = \iiint_\Omega \mathrm{div}\vec vdv$$

旋度

$$\mathrm{rot}\boldsymbol A = \begin{vmatrix} \boldsymbol i & \boldsymbol j & \boldsymbol k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}$$

实际上是用Stokes公式： $$\oint_L \vec v\cdot d\vec s = \iint_\Sigma \mathrm{rot}\vec v\cdot \vec ndS$$

微分方程

主要是常微分方程，这部分内容老师自己的讲义写得比教材清楚（而且教材有种怪味），因此这部分的笔记基本上是照搬老师的讲义。

一、二阶的一些特殊的常系数微分方程

非线性微分方程不是每个我们都能解，所以才会出现下面这种奇奇怪怪的分类，只是一个技巧的总结，不成一个知识体系。

1. 可分离变量的：分离变量，两边积分

2. 齐次的

   方程肯定可以化为这种形式

   $$\frac{dx}{dy} = f\left(\frac{y}{x}\right)$$

   接下来只需设$u = y/x$，就可分离变量了。

   $$u + x\frac{du}{dx} = f(u)$$

3. 可化为齐次的

   对于

   $$y' = f\left(\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}\right)$$

   利用不动点，也就是分子分母联立，解方程组。如果系数矩阵为0，说明上下两个方程线性相关，可以直接换元为可分离变量的微分方程。

4. 可降阶的二阶微分方程

   1. $y''=f(x,y')$，令$y'=u(x)$
   2. $y''=f(y,y')$，令$y'=u(y)$

5. Bernoulli方程

   $$y'+P(x)y=Q(x)y^n$$

   方程两边同时除以$y^n$，化为一阶线性方程。

6. 全微分方程（恰当方程）

   $$P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0$$

   需要验证平衡条件$\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$

   若不满足平衡条件，可以尝试找积分因子

n阶线性微分方程

一阶线性方程

可以直接套公式。也可以求出对应其次方程的通解，然后加上这个非其次方程的一个特解。

$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$

$$y = e^{-\int P(x)dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)dx} + C\right)$$

具体推导过程书上有。

二阶线性方程

$$\frac{d^2y}{dx}+P(x)\frac{dy}{dx}+Q(x)y = 0$$

如果已知齐次方程一个解，可以直接使用Liouville公式，求得另一个线性无关的解。 $$y_2 = y_1\int\frac{1}{y_1^2}e^{-\int P(x)dx}dx$$

Wronsky行列式可以判断函数组是否线性相关。

$W(x)_{i,j} = y_i^{(j)}$

对于非齐次方程，使用常数变易法。

假设$C_1(x)和$$C_2(x)$， $$y^* = C_1(x)y_1 + C_2(x)y_2$$ 然后求导，添加限制条件，解方程。

二阶常系数微分方程

$$y'' + py' + qy = 0$$

设$t = e^{rx}$，则得到特征方程 $$r^2 + pr + q = 0$$ 如果没有重根（共轭复根也是），那么直接线性组合即可。如果有重根，则$x$乘以求得的根就是另一个根。