很久之前的高数笔记，如今为了复习而放上来。也许会有大量错漏（就像我的其他blog一样），但我也懒得逐一校对纠正了。

高數筆記

極限

極限的性質

1. 唯一性
2. 保號性
3. 保序性

極限的計算

1. 其他

2. 等價無窮小替換

   

3. 重要極限

4. L’Hospital法則

5. Taylor公式

函數連續性

間斷點的分類

第一類間斷點

1. 可去間斷點：左右極限存在且相等，但是不等於函數值或者函數在這點沒有定義。補充定義或者改變定義即可使函數連續。
2. 跳躍間斷點：左右極限存在但是不相等。

第二類間斷點

1. 無窮間斷點
2. 震盪間斷點
3. ……

導數與微分

求導公式

$$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$$(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$$(\arctan{x})' = \frac{1}{1+x^2}$$

求導法則

鏈法則，複合函數求導法則，隱函數求導法則，對數求導法

高階導數

• Leibniz公式：$(uv)^{(n)}=\sum^n_{k=0}C^k_n\cdot u^{(n-k)}v^{(k)}$
• 數學歸納法（通常不完全歸納法即可，不必太嚴謹）

微分中值定理

Fermat定理

對於可導函數，極值點一定是駐點。

證明方法：依據導數的定義，極值點左右導數分別大於等於0和小於等於0，於是極值點一定是駐點。

Rolle定理

閉區間上連續、開區間上可導，區間兩端函數值相等，則開區間內必有一點導數等於0。

證明方法：找出極大值或極小值，使用Fermat定理，在極值點導數爲0。

Lagrange中值定理

閉區間上連續，開區間上可導，則開區間內必有一點，在這點的導數等於區間端點連線的斜率。

證明方法：函數減去區間端點連線的直線方程，使用Rolle定理。 $$f'(\xi)(a-b)={f(a)-f(b)}$$

Lagrange中值定理/Rolle定理的題目構造函數的套路：

• 要證$xf'(x)+nf(x)=0$，構造$F(x)=x^nf(x)$；

• 要證$xf'(x)-nf(x)=0$，構造$F(x)=\frac{f(x)}{x^n}$

• 要證$f'(x)+\lambda f(x)=0$，構造$F(x)=e^{\lambda x} f(x)$

• 要證$f'(x)+g'(x)f(x)=0$，構造$F(x)=e^{g(x)}f(x)$

Cauchy中值定理

$$\frac{f(a)-f(b)}{F(a)-F(b)} = \frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}$$

證明方法：作輔助函數 $$\varphi(x)=f'(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{F(a)-F(b)}\cdot F'(x)$$ 使用Rolle定理。

題目收集

$$\frac{\alpha}{1+\alpha} < \ln{(1+\alpha)} < \alpha$$

Taylor公式及餘項，Taylor中值定理

證明方法：使用$n$次Cauchy中值定理。

函數$n+1$階可導，則$x$和$x_0$之間存在一點，使 $$f(x)=\sum^n_{i=0}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\cdot(x-x_0)^n+R_n(x)$$ 其中 $$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} = o \left( (x-x_0)^n \right)$$ $x_0=0$時，得Maclauring公式。

常用Taylor公式

均爲$x\to0$

$$\frac{1}{1-x}=\sum^n_{i=0}{x^i}+R_n(x)$$

$$e^x = \sum^n_{i=0}{\frac{x^i}{i!}} + R_n(x)$$

$$\ln x = \sum^n_{i=0}{(-1)^{i-1} \cdot\frac{x^i}{i}} + R_n(x)$$

$$\sin x = \sum^{2n}_{i=1}{(-1)^{i-1}\cdot\frac{x^{2i-1}}{i!}} + R_n(x)$$

$$\cos x = \sum^{2n}_{i=0}{(-1)^{i}\cdot\frac{x^{2i}}{i!}} + R_n(x)$$

$$(1+x)^p = 1+px+\frac{p(p-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{p(p-1)(p-2)(p-n+1)}{n!}x^n + R_n(x)$$

凹凸性

考慮二階導數，證明過程使用Lagrange中值定理。

$f''(x) < 0$，則函數爲凸函數；$f''(x)>0$，則函數爲凹函數。（前提是$f''(x)$存在，否則還是乖乖用$f'(x)$的單調性來判別）。

凹凸形發生改變的點稱爲拐點，注意，拐點處不一定存在$f''(x)$。

描繪函數圖形

1. 定義域，求一二階導數
2. 求出一二階導數爲0/不存在的點
3. 列表分析單調性和凹凸性
4. 漸近線
5. 描出關鍵點
6. 畫圖

關於斜漸進線

由$\lim_{x\to\infty}[f(x)-a-b]$，得到$a=\lim_{x\to\infty}{\frac{f(x)}{x}}$，$b=\lim_{x\to\infty}{f(x)-ax}$

弧微分和曲率

$$\mathrm{d} s = \sqrt{1+\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2} = \sqrt{(\mathrm{d}y)^2+(\mathrm{d}x)^2} = \sqrt{r^2+(r')^2}\mathrm{d}\theta$$

曲率公式

$$k =\frac{1}{\rho} = \left|\frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}s}\right| = \frac{y'''}{\left[1+(y')^2\right]^{\frac{3}{2}}}$$

若曲線由參數方程$\displaystyle \begin{cases}x = \phi(t)\\y=\psi(t)\end{cases}$給出，那麼相應有曲率公式： $$k = \frac{\left|\psi''(t)\phi'(t)-\phi''(t)\psi'(t)\right|}{\left[(\phi'(t))^2+(\psi'(t))^2\right]^{\frac{3}{2}}}$$

不定積分

連續函數必然存在原函數，且其所有原函數相差一個常數。

積分表

這裏只列舉形式比較簡潔而且容易忘記的 $$\int\cos^2x\ \mathrm{d}x = \tan x + C$$

$$\int{\sec x\tan x}\ \mathrm{d}x = \sec x + C$$

$$\int{\tan x}\ \mathrm{d}x = -\ln{|\cos x|} + C$$

$$\int{\cot x}\ \mathrm{d}x = \ln{|\sin x|} + C$$

$$\int{\sec x}\ \mathrm{d}x = \ln{|\sec x+\tan x|} + C$$

$$\int{\csc x}\ \mathrm{d}x = \ln{|\csc x+\cot x|} + C$$

$$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln{(x+\sqrt{x^2\pm a^2})}$$

求不定積分

第一類換元法

就是凑微分……

$\int\sin mx \cos nx \ \mathrm{d}x$考慮使用積化和差。

$\int \sin^mx\cos^nx \ \mathrm{d}x$考慮使用降冪公式。

!!! 關於分段函數的積分 分段求積分，後使用連續函數的性質將兩段的任意常數關聯起來

第二類換元法

設$f(x)$爲連續函數，$x=\varphi(x)$單調可導，且$\varphi(t)\ne0$，若$\int f(\varphi(t))\varphi'(t) \ \mathrm{d}t = F(t) + C$，則$\int f(x) \ \mathrm{d}x = F(\varphi^{-1}(t)) + C$

具體而言，可以用來去掉根式。使用三角恆等式做一些三角換元。

也可以暴力使用根式代換。

分子分母次數相差超過1時，可以考慮倒代換。

分部積分

$$\int u \ \mathrm{d}v = uv - \int v\ \mathrm{d}u$$

• 指三冪對反

• 注意循環式，如$\int e^{ax}\sin bx\ \mathrm dx$

• 可以用於建立遞推公式，比如$I_n=\int \sin^nx\ \mathrm dx$

• 不同函數類型乘積，則往往要用分部積分法

有理函數積分

分式

• 真分式，分母因式分解，可裂項爲四種部分分式，此略
• 使用多項式除法將假分式變爲整式與真分式的和
• 用冪函數法則直接積分

三角函數有理式

• 萬能變換，使用萬能公式（設$t=\tan x$，則$\displaystyle\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$，$\displaystyle\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$）
• 通過湊微分，變換爲同名三角函數的有理式

“簡單”無理函數

1. 形如$\int R(x, \sqrt[n]{ax+b}) \mathrm dx$，則設$t = \sqrt[n]{ax+b}$
2. 形如$\int R(x, \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}) \mathrm dx$，則設$t = \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$
3. 對於形如$\int\frac{dx}{(mx+n)\sqrt{ax^2+bx+c}}$的式子，考慮使用倒代換（$t = \frac{1}{x}$）
4. 乖乖查表

定積分

計算

定義

$$\int^a_bf(x)dx = \lim_{\lambda\to0}\sum^n_{i=1}{f(\xi_i)\Delta x_i}$$

通常利用定義求定積分的時候採用等分區間的方法，比較簡單，否則十分反人類。

性質

• 線性
• 矩形性
• 區間可加性
• 保號性（區間上$f(x) \ge 0$，則$\int^a_bf(x)dx\ge0$；推論：$\left|\int^a_bf(x)dx\right| \le \int^a_b\left|f(x)dx\right|$）
• 估值定理（$m(b-a)=\int^b_amdx\le\int^b_af(x)dx\le\int^b_aMdx=M(b-a)$）
• 積分中值定理（$\exists \xi\in[a,b]$，使$\int^b_af(x)dx=f(\xi)(b-a)$）

利用以上性質，可以比較定積分的大小。

微積分基本定理（Newton-Leibniz公式）

第一基本定理：變上限積分

$\Phi(x)=\int^x_af(t)dt$，則$\Phi'(x) = f(x)$

第二基本定理：Newton-Leibniz公式

$\int^b_af(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)|^b_a$

其他方法

定積分的換元法、分部積分公式……

注意對稱區間上，奇函數定積分永遠是0

應用

求面積

直角座標下沒什麼好說的：$\int^b_a[g(x)-f(x)]dx = A$

極座標下利用$S = \frac{1}{2}r^2\theta$的“擴展”：$\displaystyle A = \frac{1}{2}\int^b_ar^2(\theta)d\theta$

對於參數方程給出的曲線來說，一般而言，按照順時針方向設定上下限；規定曲線的正向爲：不管怎麼走，曲邊梯形總在右手邊。

例子

求雙紐線（$r^2=a^2\cos{2\theta}$）圍成圖形的面積。

求弧長

$$s = \int_{?}^{?}ds = \int^?_?\sqrt{dx^2+dy^2}=\int_a^b\sqrt{1+(y')^2}dx$$

極座標下，又有： $$s = \int_\alpha^\beta\sqrt{r^2(\theta)+(r'(\theta))^2}d\theta$$

例子

求星形線$\displaystyle x^{\frac{3}{2}}+y^{\frac{3}{2}}=a^{\frac{3}{2}} \ (a>0)$的全長和圍成的面積。（提示：寫成參數方程）

求體積

1. 常規方法（還有平行截面已知的立體圖形）
2. 柱殼法（旋轉體）

反常積分

1. 無窮區間積分
2. 瑕積分

• 定義：把無限化爲有限，然後求極限
• 廣義積分的Newton-Leibniz公式
• $\Gamma$函數：$\Gamma(n) = n!$，$\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$

簡單的例子

• 求$\int^1_0\ln x\ dx$
• 求$\int_0^a\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}\ (a>0)$

常數項級數

級數的斂散性

若$\lim_{n\to\infty}S_n = S$，則稱級數收斂，否則級數發散

級數的餘項$r_n = S - S_n$，收斂級數的餘項滿足$\lim_{n\to\infty}r_n =0$

常數項級數的基本性質

1. 若級數$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收斂，則$\sum_{n=1}^{\infty}ku_n$也收斂，$k$爲任意常數，和也變成$k$倍
2. 兩個級數分別收斂，它們的和所成級數也收斂，即兩個級數可以逐項相加或相減
3. 把級數加上或去掉有限項不改變級數的收斂性
4. 如果級數收斂，對該級數加括號所成級數也收斂
5. 如果級數收斂，則一般項極限爲0

正項級數審斂法

比較審斂法

• 一般形式
• 極限形式：若$\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n} = l$，則兩個級數斂散性相同……

比值審斂法（D’Alember）

設 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$爲正項級數，且有$\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=\rho$，若$\rho < 1$，則級數收斂……

證明方法涉及到與等比級數比較。

根值審斂法（Cauchy）

設 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$爲正項級數，且有$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho$，若$\rho < 1$，則級數收斂……

證明方法涉及到與等比級數比較。

幾個重要級數

• 調和級數
• p級數（$\sum^{\infty}_{n=0}n^{-p}$，$p>1$時收斂，否則發散）「證法：先證調和，後比較審斂」
• 等比級數

交錯級數和任意項級數

Leibniz定理：

交錯級數的一般項單調且趨於0，則級數收斂

證明過程使用了單調有界準則，奇偶分別判斷

絕對收斂定理

加絕對值之後收斂爲絕對收斂，絕對收斂則一定收斂

證明過程構造了一個新級數，十分巧妙。（$\displaystyle v_n = \frac{u_n + |u_n|}{2}$）

如果不絕對收斂，還可能條件收斂，那麼只能使用Leibniz定理。

Leibniz定理只適用於交錯級數……

若$\lim_{n\to\infty}\left|u_n\right| = \infty$，則原級數一定發散

函數項級數

約定，如果級數的$n$初始值不重要，那麼就省略不寫……

在收斂域上，函數項級數$\sum^{\infty}_{n=1}u_n(x)$的和是$x$的函數，記爲$S(x)$，稱爲級數的和函數。

冪級數

生成函數有一堆騷操作。——讀《應用組合數學》有感

關於收斂半徑

Abel定理

對於級數$\sum^{\infty}_{n=0}a_nx^n$：

1. 若在$x_0$收斂，則對於滿足不等式$|x|<|x_0|$的一切$x$收斂
2. 若在$x_0$發散，則對於滿足不等式$|x| > |x_0|$的一切$x$ 發散

證明構造了一個等比級數，證明結論1，後使用反證法，證明了結論2。

推論和相關的定義

由Abel定理可以推出，冪級數要麼只在$x=0$收斂，要麼處處收斂，要麼在一個實數“以內”收斂。

由是定義收斂半徑$R$和收斂區間$(-R,R)$。

需注意，收斂區間不是收斂域，收斂區間去掉了端點

求收斂半徑

對於冪級數$\sum^{\infty}_{n=0}a_n x^n$，設它的收斂半徑是$R$，那麼

如果$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\rho$，則$R=1/\rho$

$\rho$可以是$0$或$\infty$，即無窮小或無窮大。

冪級數的運算性質

加減乘除，其中乘法有一點複雜，跟卷積有點關係。

$$\sum a_nx^n \cdot\sum b_nx^n = \sum c_nx^n$$

$\{c_n\}$就是$\{a_n\}$和$\{b_n\}$的卷積，即$c_n = \sum^n_{i=0}a_ib_{n-i}$。

收斂級數的和差積的收斂半徑可能比原先大。

冪級數的和函數性質

$S(x) = \sum^{\infty}_{n=0}a_nx^{n}$

1. 連續性
2. 逐項求導，$S'(x) = \sum^{\infty}_{n=1}na_nx^{n-1}$，注意$n$的取值
3. 逐項積分，$\int^x_0S(x)\ \mathrm{d}x=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$，注意上下限

兩道題

都是想方設法變成等比級數，用上求導和積分，不過其中可能會涉及一些技巧。

1. 求級數$\sum^{\infty}_{n=1}\frac{x^n}{n\cdot3^n}$的和函數
2. 求$\sum^{\infty}_{n=1}n(n+1)\cdot2^{-n}$

兩個重要的函數展開

似乎對於考試而言不是那麼重要

Taylor級數

首先需要注意，泰勒級數未必收斂，收斂也未必收斂於原來的函數。要收斂於原來的函數，需要一定條件，即餘項趨於0: $$\lim_{n\to \infty}R_n(x) = 0 \ (x\in U(x_0))$$

倪皖湘：不收斂/不收斂於原來的函數是少數情況，我們作業和考試的答案基本沒有驗證是否收斂於原來的函數，所以我們統一不用驗證。

Newton二項展開式

注意和二項式定理區別開，這個公式可以視爲是對二項式定理的擴展 $$f(x)=(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n$$

一道題

將$\ln{(x+\sqrt{1+x^2})}$展開成冪級數。

歐拉公式：$e^{i\theta} = \cos\theta+i\sin\theta$，$\displaystyle \cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$，sin如法炮製

Fourier級數

三角函數正交系